Надо было мне просто подробнее сразу написать...
Когда со шпули нужно перемотать шнур вместе с бекингом на пустую катушку, я шпулю снимаю с катушки, держу двумя пальцами с торцов и шнур вместе с бекингом с неё наматываю на бобину, установленную в станок. Шнур при этом не перекручивается.
Как собственно выше написали уже, только вместо шуруповёрта у меня станок.